Hallo Nexus.
Das was Du da hast ist eine sogenannte kubische Gleichung, und ich verstehe recht gut, dass Du Probleme damit hast, denn die Lösung von kubischen Gleichungen ist nicht ganz trivial.
Ich versuche es Dir mal zu erklären, aber zwei Bemerkung noch vorneweg:
1) Ich unterstelle Dir zumindest ein Grundverständnis der Termini. Falls irgendwas nicht klar sein sollte, dann sage es.
2) Dein Beispiel ist ein - sehr günstiger - Spezialfall der kubischen Gleichungen, sie hat nämlich kein quadratisches Glied. Dies vereinfacht die Sache schonmal dramatisch.
Gehen wir für die Erklärung aber mal von dem allgemeinen Fall aus, also mit quadratischem Glied.
Allgemein ist eine kubische Gleichung: ax³ + bx² + cx + d = 0
In Deinem Beispiel ist b = 0
Allgemeines zur Lösung: Jede kubische Gleichung hat im Bereich der komplexen Zahlen drei Lösungen, wobei eine Lösung stets reell ist. Die anderen beiden sind entweder auch reell oder konjugiert komplex
Schritt 1 der Lösung: Wir versuchen diese Gleichung durch Substitution so umzuformen, das eben der Spezialfall Deines Beispiels rauskommt, nämlich eine kubische Gleichung ohne quadratisches Glied.
Die Substitution erfolgt wie folgt:
1.1 Division der kubischen Gleichung durch a
x³ + (bx²)/a + (cx)/a + (d)/a = 0
1.2 Substitution x ::= y-(b/3a)
ergibt: y³+py+q
wobei p := (3ac-b²)/(3a²) und q := ((2b³)/(27a³))-((bc)/(3a²))-(d/a)
Nun kommt das, was alle lieben
Schritt 2: Fallunterscheiung.
Wie bei der quadratischen Gleichung berechnest Du eine Determinate d', die darüber entscheidet, welche der beiden oben genannten Lösungen die Gleichung besitzt.
Ist d' > 0 so gibt es eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Ist d' < 0 existieren drei verschiedene reelle Lösungen
Ist d' = 0 wird es etwas schwieriger. Dazu unten mehr, aber erst wollen wir uns mal die Gleichung der Determinate ansehen.
d' = (q/2)² + (p/3)³
2.1 Für d' > 0 berechnen sich die Lösungen wie folgt:
Erst wieder eine kurze Substitution:
u = Kubikwurzel(-(q/2) + Wurzel(d'))
v = Kubikwurzel(-(q/2) - Wurzel(d'))
Damit ergibt sich Lösung 1: y1 = u + v (reelle Lösung)
y2 = - ((u+v)/2) + ((u-v)/2) (Wurzel(3i))
y2 = - ((u+v)/2) - ((u-v)/2) (Wurzel(3i))
die beiden konjugierenden komplexen Lösungen.
Nun noch die Rücksubstitution x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x
2.2. d' < 0 (3 reelle Lösungen)
... und an der Stelle verfluche ich mich, dass ich mich entschlossen habe dies hier zu tippen
... also
y1,2,2 = 2(Wurzel(-p/3)) cos((alpha/3)+w*120°)
mit
w = 1,2,3 (für y1,2,3)
alpha = 1 / ( cos ( -q / (2(Wurzel(-(p/3)³)))))
Nun auch hier die Rücksubstitution x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x
2.3 d' = 0
Das ist deswegen etwas trickreicher, weil es zwei Möglichkeiten gibt, wie d' 0 werden kann.
2.3.1 Möglichkeit 1 : p = q = 0
Das heisst aber, dass y1 = y2 = y3 = 0 und damit die triviale Lösung:
x1 = x2 = x3 = -(b/(3a))
2.3.2 Oder Möglichkeit 2:
p = -q != 0 ( "!=" soll heissen "ungleich")
In dem Falle gibt es nur zwei UNTERSCHIEDLICHE reelle Lösungen:
y1 = Kubikwurzel(-4q) und y2 = y3 = Kubikwurzel(q/2)
Auch hier wieder Rücksubstituieren x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x
Das war's auch schon. Du siehst, es ist alles keine höhere Mathematik, sondern einfach nur Handwerk (und ich hoffe ich habe mich nirgends vertippt
)
Zum Abschluss noch Dein Beispiel: x³ + 4x + 23 = 0
Wie gesagt: Spezialfall, kein quadratisches Glied
Wir können uns die ganze Substitution von x auf y ersparen. p entspricht 4 und q 23
Schritt 1: Determinante berechnen
d' = (q/2)² + (p/3)³ = (529/4) + (64/27) = 14539/108 > 0
eine reelle, zwei komplex konjugierende Lösungen
(So'n Mist, haste Dir wieder den dümmsten Fall rausgesucht
)
Ich gehe mal davon aus, dass Du selber rechnen kannst, also machen wir hier nur mal exemplarisch die reele Lösung:
u = Kubikwurzel(-(q/2) + Wurzel(d')) = Kubikwurzel(-(23/2)+Wurzel(14539/108))
v = Kubikwurzel(-(q/2) - Wurzel(d')) = Kubikwurzel(-(23/2)-Wurzel(14539/108)
Damit ergibt sich die reelle Lösung:
y1 = Kubikwurzel(-(23/2)+Wurzel(14539/108)) + Kubikwurzel(-(23/2)-Wurzel(14539/108)) ~ Kubikwurzel( -11,5 + 11,60260 ) + Kubikwurzel(-11,5 - 11,60260) = Kubikwurzel(0,1026) + Kubikwurzel(-23,1026) ~ -2,37994
(ich habe immer auf 5 Stellen gerundet)
Prüfung: Sei x = -2,37994
-2,37994³ + 4* -2,37994 + 23 = 0 .... Passt
Die beiden komplexen darfste jetzt selber ausrechnen
Ich hoffe ich konnte es Dir halbwegs klar rüberbringen.
Eines noch: Ich habe mich wirklich sehr bemüht mich nicht zu vertippen, aber bitte prügle mich nicht, wenn es irgendwo dennoch passiert sein sollte
wasndasnbitte 
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