An die Mathematiker unter euch!

Alles was nichts mit Egosoft oder den X Spielen zu tun hat gehört hier rein.

Moderator: Moderatoren für Deutsches X-Forum

NeXuS
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An die Mathematiker unter euch!

Post by NeXuS »

Ok, wenn mich nicht alles täuscht sollten sich bei einem Spiel wie X² jede Menge Mathe Freaks im Forum tummeln. ;)

Beim durchstöbern der Fachliteratur zu meinem Bio-Studium bin ich auf diverse Wachstumsformeln gestoßen die ich beim besten Willen nicht lösen kann, obwohl sie an sich gar nicht mal allzu schwer zu sein scheinen... Das Prinzip wiederholt sich dabei ständig, wenn ihr's mir an einem Beispiel erklären könntet, würd ich den Rest bestimmt auch selber hinbekommen.

Hier mal ein simples Beispiel (an dem ich mir sämtliche Zähne ausgebissen hab, grmpff)

x³ + 4x + 23 = 0

Wie kann man das nach x auflösen? Das kann doch wohl nicht so schwer sein?!

Bedanke mich schon mal im Voraus!
Deleted User

Post by Deleted User »

du könntest es do mal damit versuchen dir gedanken darüber zu machen wie du das X³ in ein X bekommst - oder aber alles ³ zu bekommen.
pak-x2
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x2

Post by pak-x2 »

Jo das ist recht schwierig. Aber warum versuchst du es nicht eifnach selber zu lösen ?



Mhh ich habe es zwar versucht, bin jetzt aber auch wieder zu blöde dafür obwohl ich bei diesem Thema ne 2 geschriben habe und danach dann 2 Einsen.

Nun ich probiere es hier nochmal

x³ + 4x + 23 = 0 / als erstes würde ich die 23 auf die andere seite hohlen

x³ + 4x = -23 / dann würzel nehmen / wobei das nciht geht da man aus ner minuszahl keine wurzel nehmen kann

X² + 2x = -4.8 / dann nochmal wurzel
x + 1.414 x = -2.2 / zusammenfassen
2.414 x = -2.2 / geteilt durch 2.414
X = ca. 1.48

mhhh frag mich echt nicht ob das stimmt :roll:

Nun köööönt ja richtig sein


MFG PAK
X² rulez
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shinji_SLITSCAN
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x3tc

Post by shinji_SLITSCAN »

Ist falsch, denn die Wurzel aus

x³ + 4x ist
Wurzel(x³+4x)

und nicht irgendwas anderes. Zudem die Sache mit der negativen Zahl. ;)

Es hilft auf jedenfall weiter, denke ich, wenn man es in die Form
ax³ + bx² + cx + d = 0
bringt. (b = 0)

Oder man stellt die 23 auf die anderen Seite und klammert x aus...
x(x² + 4) = -23
Und wie weiter? Durch eine Unbekannte darf man nicht teilen... würde auch nicht viel bringen.
Sag mal, bist du dir sicher, dass die Aufgabe lösbar ist?

Also, wenn nicht's mehr hilft würde ich mal das hier ausprobieren:
http://www.mathematik.ch/anwendungenmat ... ardano.php
Oder google, und nach Gleichungen 3. Grades oder direkt nacht "ax³ + bx² + cx + d = 0" suchen.

PS: Wieso willst du X eigentlich ausrechen, und nicht einsetzen? *g* Sollte man mit Wachstumsfunktionen nicht einen Funktionswert Y errechnen?
Bring the violence
It's significant
Just_Somebody
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Post by Just_Somebody »

Hallo Nexus.

Das was Du da hast ist eine sogenannte kubische Gleichung, und ich verstehe recht gut, dass Du Probleme damit hast, denn die Lösung von kubischen Gleichungen ist nicht ganz trivial.


Ich versuche es Dir mal zu erklären, aber zwei Bemerkung noch vorneweg:
1) Ich unterstelle Dir zumindest ein Grundverständnis der Termini. Falls irgendwas nicht klar sein sollte, dann sage es.
2) Dein Beispiel ist ein - sehr günstiger - Spezialfall der kubischen Gleichungen, sie hat nämlich kein quadratisches Glied. Dies vereinfacht die Sache schonmal dramatisch.

Gehen wir für die Erklärung aber mal von dem allgemeinen Fall aus, also mit quadratischem Glied.

Allgemein ist eine kubische Gleichung: ax³ + bx² + cx + d = 0
In Deinem Beispiel ist b = 0

Allgemeines zur Lösung: Jede kubische Gleichung hat im Bereich der komplexen Zahlen drei Lösungen, wobei eine Lösung stets reell ist. Die anderen beiden sind entweder auch reell oder konjugiert komplex

Schritt 1 der Lösung: Wir versuchen diese Gleichung durch Substitution so umzuformen, das eben der Spezialfall Deines Beispiels rauskommt, nämlich eine kubische Gleichung ohne quadratisches Glied.
Die Substitution erfolgt wie folgt:

1.1 Division der kubischen Gleichung durch a
x³ + (bx²)/a + (cx)/a + (d)/a = 0
1.2 Substitution x ::= y-(b/3a)
ergibt: y³+py+q
wobei p := (3ac-b²)/(3a²) und q := ((2b³)/(27a³))-((bc)/(3a²))-(d/a)

Nun kommt das, was alle lieben :D :arrow: Schritt 2: Fallunterscheiung.
Wie bei der quadratischen Gleichung berechnest Du eine Determinate d', die darüber entscheidet, welche der beiden oben genannten Lösungen die Gleichung besitzt.
Ist d' > 0 so gibt es eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Ist d' < 0 existieren drei verschiedene reelle Lösungen
Ist d' = 0 wird es etwas schwieriger. Dazu unten mehr, aber erst wollen wir uns mal die Gleichung der Determinate ansehen.

d' = (q/2)² + (p/3)³

2.1 Für d' > 0 berechnen sich die Lösungen wie folgt:
Erst wieder eine kurze Substitution:
u = Kubikwurzel(-(q/2) + Wurzel(d'))
v = Kubikwurzel(-(q/2) - Wurzel(d'))
Damit ergibt sich Lösung 1: y1 = u + v (reelle Lösung)
y2 = - ((u+v)/2) + ((u-v)/2) (Wurzel(3i))
y2 = - ((u+v)/2) - ((u-v)/2) (Wurzel(3i))
die beiden konjugierenden komplexen Lösungen.
Nun noch die Rücksubstitution x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x

2.2. d' < 0 (3 reelle Lösungen)
... und an der Stelle verfluche ich mich, dass ich mich entschlossen habe dies hier zu tippen :wink: ... also

y1,2,2 = 2(Wurzel(-p/3)) cos((alpha/3)+w*120°)
mit
w = 1,2,3 (für y1,2,3)
alpha = 1 / ( cos ( -q / (2(Wurzel(-(p/3)³)))))
Nun auch hier die Rücksubstitution x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x

2.3 d' = 0
Das ist deswegen etwas trickreicher, weil es zwei Möglichkeiten gibt, wie d' 0 werden kann.
2.3.1 Möglichkeit 1 : p = q = 0
Das heisst aber, dass y1 = y2 = y3 = 0 und damit die triviale Lösung:
x1 = x2 = x3 = -(b/(3a))

2.3.2 Oder Möglichkeit 2:
p = -q != 0 ( "!=" soll heissen "ungleich")
In dem Falle gibt es nur zwei UNTERSCHIEDLICHE reelle Lösungen:
y1 = Kubikwurzel(-4q) und y2 = y3 = Kubikwurzel(q/2)

Auch hier wieder Rücksubstituieren x1,2,3 = y1,2,3 - (b/(3a)) und Du hast die Nullstellen von x

Das war's auch schon. Du siehst, es ist alles keine höhere Mathematik, sondern einfach nur Handwerk (und ich hoffe ich habe mich nirgends vertippt :D )

Zum Abschluss noch Dein Beispiel: x³ + 4x + 23 = 0

Wie gesagt: Spezialfall, kein quadratisches Glied :arrow: Wir können uns die ganze Substitution von x auf y ersparen. p entspricht 4 und q 23

Schritt 1: Determinante berechnen
d' = (q/2)² + (p/3)³ = (529/4) + (64/27) = 14539/108 > 0 :arrow: eine reelle, zwei komplex konjugierende Lösungen
(So'n Mist, haste Dir wieder den dümmsten Fall rausgesucht :D )

Ich gehe mal davon aus, dass Du selber rechnen kannst, also machen wir hier nur mal exemplarisch die reele Lösung:

u = Kubikwurzel(-(q/2) + Wurzel(d')) = Kubikwurzel(-(23/2)+Wurzel(14539/108))
v = Kubikwurzel(-(q/2) - Wurzel(d')) = Kubikwurzel(-(23/2)-Wurzel(14539/108)
Damit ergibt sich die reelle Lösung:
y1 = Kubikwurzel(-(23/2)+Wurzel(14539/108)) + Kubikwurzel(-(23/2)-Wurzel(14539/108)) ~ Kubikwurzel( -11,5 + 11,60260 ) + Kubikwurzel(-11,5 - 11,60260) = Kubikwurzel(0,1026) + Kubikwurzel(-23,1026) ~ -2,37994
(ich habe immer auf 5 Stellen gerundet)

Prüfung: Sei x = -2,37994
:arrow: -2,37994³ + 4* -2,37994 + 23 = 0 .... Passt :D
Die beiden komplexen darfste jetzt selber ausrechnen 8)

Ich hoffe ich konnte es Dir halbwegs klar rüberbringen.

Eines noch: Ich habe mich wirklich sehr bemüht mich nicht zu vertippen, aber bitte prügle mich nicht, wenn es irgendwo dennoch passiert sein sollte :oops:
Last edited by Just_Somebody on Sat, 17. Jan 04, 22:41, edited 1 time in total.
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NeXuS
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Post by NeXuS »

Wow, vielen Dank euch allen (vor allem dir somebody)! Wenn ich morgen wieder nen klaren (nüchternen) Kopf hab, werd ich mal versuchen deinen Ausführungen zu folgen, im Moment bin ich dazu eindeutig nicht in der Lage. :D

shinji_SLITSCAN[M_Inc] wrote: PS: Wieso willst du X eigentlich ausrechen, und nicht einsetzen? *g* Sollte man mit Wachstumsfunktionen nicht einen Funktionswert Y errechnen?
Ja, eigentlich schon. Aber wenn man die Nullstellen einer Funktion finden will (z.B. wann ist eine Population vollkommen ausgelöscht? ;)), kommt man an sowas nicht vorbei...
Deleted User

Post by Deleted User »

also bei sowas verwende ich (für bakterien Alkohol und heise Luft)

ihr müst das ernsthaft ausrechnen - ist ja fast schon - p......

na ja aufjedenfall werde ich mir das auchmal genauer ansehen was somebody geschrieben hat.
Just_Somebody
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Post by Just_Somebody »

NeXuS wrote: Aber wenn man die Nullstellen einer Funktion finden will (z.B. wann ist eine Population vollkommen ausgelöscht?
Nun bin ich aber mal neugierig. :D

Ich kann mir ja viel vorstellen und bei einem reellen Ergebnis kann ich mir irgendwas zusammenreimen, was die Nullstelle dann sagen soll. Aber eine Population die im komplexen Raum ausgelöscht wird :o wasndasnbitte :?

Eine Bemerkung noch, wenn Du das durchguckst: Die ganze Substituiererei ist natürlich nicht notwendig. EINZIGER Grund ist die Ausdrücke übersichtlicher zu halten. So muss Du halt nur "p" oder "q" schreiben, statt jedesmal den ganzen Term. Also: Keine mathematische Notwenigkeit -> nur persönliche Faulheit :)
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Deleted User

Post by Deleted User »

Just_Somebody wrote:
NeXuS wrote: Aber wenn man die Nullstellen einer Funktion finden will (z.B. wann ist eine Population vollkommen ausgelöscht?
Nun bin ich aber mal neugierig. :D

Ich kann mir ja viel vorstellen und bei einem reellen Ergebnis kann ich mir irgendwas zusammenreimen, was die Nullstelle dann sagen soll. Aber eine Population die im komplexen Raum ausgelöscht wird :o wasndasnbitte :? :)
das hat warscheinlich mit der Generationszeit und der Wachstumskurfe von Bakterien und so zu tun.

zuerst giebt es wachstum dan stagnation und zum schluß das absterben der population.

da sich die Bakterien ja in x Minuten verdoppeln gilt das selbige theoetisch auch beim absterben - also ist irgedwan nur noch eine bakterie übrig und nach x minuten ist diese letzte dann auch tot.
gleiches gilt bei dem einsatz von bakteriziden stoffen wenn diese einen gewissen %satz der bakterien je generationszeit abtöten ist irgendwann nur noch 1 und am schul keine mehr vorhanden (theoretisch zumindest) diese Sterberate könnte man dann eben mit so einer formel berechnen.

wobei ich mich noch immer über dieses kubik wundere da das eigentlich quadratisch sein müsste wenn ich mich recht erinnere.
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Der XeTerminator
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Post by Der XeTerminator »

... na das bestätigt mich doch wieder wenn ich das lese :D ..... das ich seinerzeit Biologie abgewählt habe & mich nur mit den "reinen" Zahlen befasst habe (Phy & Ma) ...
*modified* mit Xenon, neoTex & OrganicMod (keine zusätzlichen Scripte nur die Grafikmods)
*modified* mit miniAstro&Nebel-MOD
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MofDy
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Post by MofDy »

Die Antwort ist 42...

Wenn ihr mir nicht glaubt, müsst ihr Douglas Adams lesen :lol:
Bhaals Blutthron ist gefallen...
Seine sterblichen Nachfahren, gezeugt in den Fegefeuern der Hölle, sind blankgenagte Knochen im Wüstensand...
In ewiger Errinerung an unsere gefallenen Gefährten, Khalid, Xar, Dynaheir, und meinen geliebter Bruder...

- The Legend never dies -

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